====== Ableitung ======


===== allgemeine Ableitungen =====
Vielfache: $$(a\cdot f(x))'= a\cdot f'(x)$$
Summe: $$(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)$$
Produkt: $$(f(x)\cdot g(x))'=f'(x)\cdot g(x) + f(x)\cdot g'(x)$$
Quotient: $$\left(\frac {f(x)} {g(x)}\right)' = \frac {f'(x)\cdot g(x) - f(x)\cdot g'(x)}  {g(x)^2}$$
Kettenregel: $$(f(g(x)))' = g'(x)\cdot f'(g)$$


===== Potenzfunktionen bzw. ganzrationale Funktionen =====

$$(a\cdot x^n)' = a\cdot n \cdot x^{n-1}\quad , \quad n\in\mathbb{R}$$

===== gebrochenrationale Funktionen =====

siehe oben: Quotient


===== trigonometrische Funktionen =====

Der Pfeil bedeutet 'Ableitung'...
$$ \sin(x) \rightarrow \cos(x) \rightarrow -\sin(x) \rightarrow -\cos(x) \rightarrow  sin(x) \rightarrow \ldots $$

$$ ab^2t+a\cdot\sin(ax) \quad\rightarrow\quad a^2\cdot\cos(ax)  \quad\rightarrow\quad  a^3\cdot-\sin(ax) \quad\rightarrow\quad -a^4\cdot\cos(ax)\quad\rightarrow\quad a^5\cdot\sin(ax) \quad\rightarrow\quad \ldots$$


===== e-Funktionen =====

$$(e^x)' = e^x $$
$$(a\cdot e^{bx})' = ab\cdot e^{bx}$$


===== Logarithmusfunktionen =====

$$(\ln(x))' = \frac1x$$
$$(\log_ax)' = \frac{1}{x\cdot\ln(a)} $$


===== Wurzelfunktionen =====
Wurzelfunktionen sind letztlich nichts anderes als Potenzfunktionen mit rationalem Exponenten:
$$ \sqrt{x} = x^\frac12$$
$$ \sqrt[n]{x} = x^\frac1n$$
Daher sind sie genauso abzuleiten wie die ganzrationalen Funktionen (oder Potenzfunktionen).

===== Exponentialfunktionen =====
$$ (a^x)' = \ln(a)\cdot a^x $$