====== Nullstellen ======

===== Ansatz =====

Gegeben sei die Funktion: $$f(x)=2x^3+4x^2-6x$$

Diese Gleichung darf nicht durch 2 geteilt werden! \\ Zunächst muss aus der Funktionsgleichung eine Gleichung gemacht werden, die man auflösen möchte. Das heißt, man schreibt den Ansatz hin:

Es soll gelten: \\
$$f(x) \stackrel!= 0$$
$$\Longleftrightarrow\quad 2x^3+4x^2-6x=0$$
Dann erst kann **diese** Gleichung durch 2 dividiert werden, usw..

Warum darf man das nicht? Weil sich sonst durch die Division mit 2 mathematisch korrekt folgendes ergibt:
$$\frac{f(x)}{2}=x^3+2x^2-3x$$
was in den meisten Fällen nicht wirklich weiterhilft.



===== pq-Formel =====

$$x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}$$

Beispiel:
$$ f(x)=2x^2-2x-12$$
Also:
$$f(x)\stackrel!= 0$$
$$\Leftrightarrow 2x^2-2x-12 = 0 \qquad | :2$$
Wichtig! Erst durch 2 dividieren, damit der Koeffizient des $x^2$ 1 ist!
$$\Leftrightarrow x^2-x-6=0$$
$$\Rightarrow x_{1,2}=\frac12\pm\sqrt{\frac14+6} = \frac12\pm\frac52 \Leftrightarrow x_1=-2 \land x_2=3$$
=====  x ausklammern =====

Kommt in jedem Summanden ein $x$ vor, so kann man $x$ ausklammern und somit den Schwierigkeitsgrad des Nullstellenfindens erheblich reduzieren, da nun jeder Faktor einzeln untersucht werden kann. 

Beispiel:
$$x^3+2x^2=x^2\cdot(x+2)$$
=====  Polynomdivision =====

Ist eine Nullstelle einer ganzrationalen Funktion bekannt, so kann einen Linearfaktor ausklammern, indem man den Funktionsterm durch ihn dividiert.

 
=====  Substitution =====

Beispielsweise bei biquadratischen Gleichungen kann man $x^4$ durch $x^2$ ersetzen und so den Grad des Polynoms halbieren. Dann können mit Hilfe der pq-Formel zwei $x$ (soweit vorhanden) bestimmt werden, aus denen mit Hilfe der Wurzel dann die Nullstellen $z_1$ bis $z_4$ (soweit vorhanden) bestimmt werden können.