====== Symmetrie ======

Bei der Betrachtung der Symmetrie eines Graphen, reduziert man meistens(!) die Untersuchung auf Punktsymmetrie zum Ursprung oder Achsensymmetrie zur $y$-Achse.

===== Punktsymmetrie zum Ursprung =====

In diesem Fall gilt $f(-x)=-f(x)$ für alle $x\in\mathbb{D}$.

Dies ist beispielsweise bei ganzrationalen Funktionen mit nur ungeraden Exponenten der Fall.

===== Achsensymmetrie zur $y$-Achse =====

In diesem Fall gilt $f(-x)=f(x)$ für alle $x\in\mathbb{D}$.

Dies ist beispielsweise bei ganzrationalen Funktionen mit nur geraden Exponenten (und einer Konstante) der Fall. 

===== Beispiele =====
  * $f(x)=x^2$ \\ Ansatz: $f(-x)=(-x)^2=x^2=f(x)$ \\ $\Rightarrow$ $f$ ist achsensymmetrisch zur $y$-Achse
  * $f(x)=x^3$ \\ Ansatz: $f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x)$ \\ $\Rightarrow$ $f$ ist punktsymmetrisch zum Ursprung
  * $f(x)=2x^6+17x^2+3$  \\ $\Rightarrow$ $f$ ist achsensymmetrisch zur $y$-Achse, da es sich um eine ganzrationale Funktion handelt, $x$ nur gerade Exponenten besitzt und lediglich eine Konstante addiert wird.
  * $f(x)=-12x^9+5x^3+4x$  \\ $\Rightarrow$ $f$ ist punktsymmetrisch zum Ursprung, da es sich um eine ganzrationale Funktion handelt und $x$ nur ungeraden Exponenten besitzt.
  * $f(x)=5x^3+4x+2$ \\ $\Rightarrow$ $f$ hat keine erkennbare Symmetrie, da ungerade Exponenten UND eine Konstante vorkommen. Ohne die Konstante wäre $f$ punktsymmetrisch zum Ursprung.
  * $f(x)=3\cdot\sin(2x)$ \\ Ansatz: $f(-x)=3\cdot\sin(2\cdot(-x))=3\cdot\sin(-2x)=-3\cdot\sin(2x)=-f(x)$\\ $\Rightarrow$ $f$ ist punktsymmetrisch zum Ursprung.


===== Weitere Symmetrien =====

Hier sei schon mal erwähnt, dass es natürlich noch viel mehr Symmetrien gibt, die es eventuell zu betrachten lohnt. Möchte man beispielsweise einen trigonometrischen Term umwandeln, so kann die Symmetrie sehr dabei helfen.
Beispiel:
$$ \sin(x)=-\sin(-x)=\sin(\pi -x)$$