Vielfache: $$(a\cdot f(x))'= a\cdot f'(x)$$ Summe: $$(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)$$ Produkt: $$(f(x)\cdot g(x))'=f'(x)\cdot g(x) + f(x)\cdot g'(x)$$ Quotient: $$\left(\frac {f(x)} {g(x)}\right)' = \frac {f'(x)\cdot g(x) - f(x)\cdot g'(x)} {g(x)^2}$$ Kettenregel: $$(f(g(x)))' = g'(x)\cdot f'(g)$$
$$(a\cdot x^n)' = a\cdot n \cdot x^{n-1}\quad , \quad n\in\mathbb{R}$$
siehe oben: Quotient
Der Pfeil bedeutet 'Ableitung'… $$ \sin(x) \rightarrow \cos(x) \rightarrow -\sin(x) \rightarrow -\cos(x) \rightarrow sin(x) \rightarrow \ldots $$
$$ ab^2t+a\cdot\sin(ax) \quad\rightarrow\quad a^2\cdot\cos(ax) \quad\rightarrow\quad a^3\cdot-\sin(ax) \quad\rightarrow\quad -a^4\cdot\cos(ax)\quad\rightarrow\quad a^5\cdot\sin(ax) \quad\rightarrow\quad \ldots$$
$$(e^x)' = e^x $$ $$(a\cdot e^{bx})' = ab\cdot e^{bx}$$
$$(\ln(x))' = \frac1x$$ $$(\log_ax)' = \frac{1}{x\cdot\ln(a)} $$
Wurzelfunktionen sind letztlich nichts anderes als Potenzfunktionen mit rationalem Exponenten: $$ \sqrt{x} = x^\frac12$$ $$ \sqrt[n]{x} = x^\frac1n$$ Daher sind sie genauso abzuleiten wie die ganzrationalen Funktionen (oder Potenzfunktionen).
$$ (a^x)' = \ln(a)\cdot a^x $$