Monotonie

Das Vorzeichen der ersten Ableitung entspricht der Montonie.
+ bedeutet positive Steigung, d.h. der Graph ist streng monton steigend. (s.m.s.)
- bedeutet negative Steigung, d.h. der Graph ist streng monoton fallend. (s.m.f.)

Darf die Steigung auch Null sein, siehe im zweiten Beispiel, so spricht man von monoton steigend, statt von streng monoton steigend. monoton unterscheidet sich von streng monoton also nur dadurch, dass die Steigung im entsprechenden Intervall auch Null sein darf.

Das Vorzeichen der Ableitung kann sich nur in Nullstellen oder Definitionslücken ändern, d.h. sie geben die Intervalle vor, in denen man die Monotonie der Graphen bestimmen kann.

• $f(x)=x^2$
  $\Rightarrow\quad f'(x)=2x$
  $\Rightarrow\quad ]-\infty;0[ \quad:\quad s.m.f.$
  und $]0;\infty[\quad:\quad s.m.s.$
• $f(x)=x^3$
  $\Rightarrow\quad f'(x)=3x^2$
  $\Rightarrow\quad ]-\infty;0[ \quad:\quad s.m.s.$
  und $]0;\infty[\quad:\quad s.m.s.$
  Man kann hier aber auch sagen, dass die Funktion auf ganz $\mathbb{R}$ monton steigend ist, da die Steigung nie negativ ist.
• $f(x)=\sin(x)$
  $\Rightarrow\quad f'(x)=\cos(x)$
  $\Rightarrow\quad$