Damit der Computer Entscheidungen treffen kann, muss er eine gewisse Logik beherrschen. Soll er von einer Aussage entscheiden, ob sie wahr oder falsch ist, muss er logische Regeln dafür haben. Zunächst sei festgelegt:
wahr = 1 falsch = 0
Ein Satz, ein Term oder eine Bedingung wird Aussage genannt, wenn man entscheiden kann, ob sie wahr oder falsch ist. Verschiedene Aussagen können auch in unserer Alltagssprache logisch kombiniert werden. Dabei muss beachtet werden, dass die exakte und unmissverständliche Definition der Operatoren nicht immer mit der Alltagssprache übereinstimmt!
Soll der Rechner eine Entscheidung treffen, so muss er meist eine Aussage überprüfen. Beispiel:
WENN heute schönes Wetter ist, DANN gehen wir ein Eis essen.
Der Computer benötigt also irgendeine Möglichkeit, um herauszufinden, ob das Wetter schön ist. Wenn dem so ist, könnt er den Befehl erteilen, Eis essen zu gehen.
Interessanter wird es, wenn verschiedene Aussagen kombiniert werden:
WENN heute schönes Wetter ist UND ich genug Geld habe, DANN gehen wir ein Eis essen.
Der Rechner muss nun 2 Elemente überprüfen.
Die Auswertung läuft folgendermaßen ab:
Um hier nicht mit dem Rätselraten anzufangen, bekommt der Rechner eine Tabelle, in der genau drin steht, was er tun soll:
| Aussage 1 | Aussage 2 | und-Verknüpfung |
|---|---|---|
| nicht schön | nicht genug Geld | kein Eis |
| nicht schön | genug Geld | kein Eis |
| schön | nicht genug Geld | kein Eis |
| schön | genug Geld | !!!Eis!!! |
Kürzer:
| Aussage 1 | Aussage 2 | UND-Verknüpfung |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
Noch kürzer:
| E1 | E2 | E1 ∧ E2 |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
Statt A (für Ausgang) kann man hier auch „E1 AND E2“ oder einfach „A“ schreiben.
Werden zwei Aussagen mit 'ODER' bzw. 'OR' verknüpft, sieht die Tabelle so aus:
| E1 | E2 | E1 ∨ E2 |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
Natürlich gibt es noch ein 'ENTWEDER … ODER'. Das entweder heißt auch 'ausschließendes Oder' oder im Englischen 'exclusive OR'. Daher lautet die Abkürzung meist 'XOR'. Man beachte, dass in der Alltagssprache ein 'ODER' meist so verwendet wird, wie ein 'ENTWEDER ODER'. Für MathematikerInnen und InformatikerInnen (unter anderen!) völlig unverständlich, ist aber so…
| E1 | E2 | E1 XOR E2 |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 |
Immer wieder muss der Wert einer Aussage umgekehrt werden. Man sagt auch, eine Aussage wird negiert. Wieder ein Beispiel aus der deutschen Sprache:
Heute ist schönes Wetter.
Negiert:
Heute ist kein schönes Wetter.
Ganz schön schierig… Man beachte, dass diesmal keine 2 Aussagen verknüpft werden. Es wird lediglich der Gehalt einer einzigen Aussage umgekehrt. Auch dazu noch die Tabelle:
| E | ¬E |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 0 |
Dazu gibt es noch NAND, NOR, NXOR…
| E1 | E2 | AND | NAND | OR | NOR | XOR | NXOR |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |